LOGIKA PREDIKAT

NAMA        : CHAIRUL M NASER

NIM             : 14.11.820

PROGRAM : STRATA – 1

JURUSAN   : TI

  STMIK AMIKOM YOGYAKARTA

                       2015

LOGIKA PREDIKAT

Abstrak


Telah dibicarakan tentang logika proposisional, dimana sebagai satuan dasarnya adalah pernyataan logis seperti misalnya “ Mobil berwarna merah”, “ Rumah bercat biru”,”Yogyakarta terletak di Daerah Istimewa Yogyakarta”, dan dimungkinkan untuk dikompbinasikan dengan operator/ functor “and”, “or”, “implies”,” dan lainnya. Proposisi ini dapat benar (TRUE) atau salah (FALSE).
Kita tidak dapat berbicara pada obyek dengan level yang lebih rendah lagi seperti misalnya “Mobil”,”Rumah” dal;am arti mobil yang mana, rumah seperti apa, dan seterusnya, dan juga tidak dapat menyajikan variable untuk obyek-obyek tersebut.
Agar kita dapat berbicara mengenai obyek-obyek level lebih rendah seperti dimaksudkan diatas maka sampailah kita pada logika predikat yang banyak dipakai dalam aplikasi praktir.

 

ISI

·        Logika Predikat adalah perluasan dari logika proposisi dimana objek yang di bicarakan dapat berupa anggota kelompok.

·        Logika proposisi(ingat kembali) menganggap proposisi sederhana(kalimat) sebagai entitas tunggal

·        Sebaliknya, logika predikat membedakan subjek dan predikat dalam sebuah kalimat.

·        Ingat tentang subjek dan predikat dalam kalimat ?

2.1Varibel, Simbol tetapan, Simbol Fungsi , Simbol predikat

Perhatikan proposisi sebagai berikut “ Joko adalah seorang pelajar”, dan Slamet adalah seorang pelajar” Jelas bahwa untuk menyajikan kedua pernyataan tersebut diperlukan dua symbol (variable) yang berbeda , misalnya p dan q . Tetapi kalau diperhatikan kedua pernyataan tersebut mempunyai sifat kebersamaan, yaitu bahwa keduanya adalah “ seorang pelajar ” . Simbol yang digunakan untuk menyajikan kedua pernyataan tersebut (p dan q) tidak menunjukkan adanya sifat kebersamaan diantara mereka yaitu sifat “ adalah seoramg pelajar” yang disebut dengan predikat.
            Suatu predikat akan diberi symbol dengan huruf misalnya P dan untuk obyeknya dengan huruf x maka dapat disajikan dengan P(x) yang berarti bahwa x mempunyai sifat P sehingga untuk contoh diatas misalnya Joko disajikan dengan j dan Slamet dengan s, seorang pelajar dengan P, maka didapat P(j) dan P(s) yang masing-masing berarti j bersifat P yaitu Joko bersifat eorang pelajar atau Joko adalah sorang pelajar.
            Sehingga pernyataan seperti dimaksud diatas akan dituliskan dengan apa yang dikenal dengan suatu bahasa order-kesatu (first-order language), yang dibangun dengan himpunan daripada variable-variabel, symbol tetapan, symbol fungsi dan juga symbol predikat atau symbol relasi.  Bilamana bekerja dengan bahasa order kesatu (first-order language) maka didalam bayangan kita adalah adanya himpunan daripada obyek-obyek yang pernyataannya dalam bahasa tersebut dibicarakan. Ini (yaitu himpunanobyek-obyek) disebut dengan “Semesta Pembicaraan” (Universe of Discourse) Contohnya adalah himpunan daripada orang-orang sebagai suatu semesta pembicaraan juga himpunan daripada bilangan bulat positive sebagai semesta pembicaraan.

Bahasa order-kesatu dibangun dengan :

·         Varibel ; variable dalam bahasa order-kesatu berjangkau pada seluruh semesta pembicaraan. Jika berbicara tentang bilangan positive bulat maka variable x dapat menjangkau semua bilangan bulat positive, misalnya x dapat bernilai 2, 3 ,dan seterusnya. Jika semesta pembicaraannya adalah orang-orang maka y dapat menyajikan sebarang orang seperti misalnya y adalah Ani, atau Rudi dan seterusnya.

·         Simbol tetapan ; ia hanya menyajikan satu anggauta daripada semesta pembicaraan. Misalnya kala semesta pembicaraannya orang-orang maka symbol c hanya menyajikan misalnya Siman.

·         Simbol Fungsi ; ia merupakan suatu fungsi pada semesta pembicaraan. Misalnya untuk himpunan bilangan bulat maka symbol fungsi satu-tempat (fungsi satu variable) f(x) dapat berupa x – 1, sehingga bilangan bulat x dipetakan pada suatu bilangan bulat baru x – 1. Untuk simbolo fungsi dua-tempat (fungsi dua variable) g(x,y) dapat berbentuk x + y. Jika semesta pembicaraannya orang-orang maka f(x) adalah fungsi yang jika diberikan seorang x, maka f(x) dapat diartikan sebagai bapak daripada orang tersebut (sejauh bapak tersebut berada dalam himpunan yang dibicarakan) sehingga f(x) boleh dikatakan sebagai “Bapak daripada x “.

·         Simbol predikat ; suatu symbol yang menyatakan relasi. Ia dapat dipandang sebagai fungsi yang nilainya adalah salah satu benar (TRUE) atau salah (FALSE). Argumennya adalah term daripada bahasa order-kesatu . Term didefinisikan secara induktif sebagai variable, symbol tetapan atau symbol fungsiyang diaplikasikan pada term sederhana.[1.6].

Contoh : Suatu predikat R(x) dapat dipandang oleh seorang programmer mirip sebagai fungsi Boolean (ingat suatu fungsi Boolean adalah fungsi yang menghasilkan satu dari dua nilai yaitu 0 atau 1 atau T atau F) dalam bahasa Pascalyang sering dipakai sebagai suatu pernyataan kodisional. Contoh suatu predikat adalah :

Contoh Argumen Artinya                                                                                            
Sama(i,j) i dan j adalah bilangan bulat i dan j sama                                       
Saudara-sekandung(Edi,Ani) Dua nama orang Mereka saudara-sekandung        
PPT(f,p,q) Tiga buah bilang- an bulat F adalah pembagi persekutuan terkecil daripada bilangan bulat p dan q
Seangkatan(Ani, Edi, Joni, Sati, Simin, Paijo, Sipon) Tujuh nama orang Mereka satu angkatan dalam memasuki perguruan tinggi.

Jika diberikan suatu bahasa order-kesatu, suatu interpretasi daripada bahasa tersebut mempunyai suatu domain (atau semesta pembicaraan) bersama-sama dengan penugasan khusus daripada symbol tetapan, symbol fungsi dan symbol predikat pada tetapan aktuil, fungsi dan relasi/predikat dalam domainnya.
Setiap predikat daripada satu argument adalah suatu pemetaan (mapping) :

D => {T,F}

Dimana D adalah semesta pembicaraan (atau Domain) ; Suatu predikat dengan dua argument juga adalah suatu pemetaan/mapping :

D x D => {T,F}

Nilai kebenaran T dan F dapat diambil sebagai predikat daripada argument kosong/zero argument
Perhatikan bahwa kesemuanya ini ada kaitannya dengan pengertian himpunan, karena obyek daripada semesta pembicaraan harus berbentuk suatu himpunan, yang memenuhi “H(x)” membentuk suatu subset, yang memenuhi “H(x) ^ S(x)” membentuk suatu himpunan yang merupakan interseksi daripada himpunan yang memenuhi “H(x)” dan “S(x)”.
Jadi Predikat dapat digunakan untuk menuliskan formula logis dimana obyeknya adalah anggauta daripada suatu semesta pembicaraan, sebagai contoh :

Orangkaya(orang) -> Dapatbeli(orang,obyek)
(Besar(obyek) -> Kerapatan(obyek)) -> Berat(obyek)
Genap(x) -> Faktor(2,x)
Pasport-UK(x) -> (Lahir-di-UK(x) -> Pasport-UK(Orangtua(x))

Dengan demikian dengan notasi tersebut diatas kita dapat bicara tentang obyek dalam semesta pembicaraan kita, dan juga property mereka disbanding kalau menggunakan variable level-terendah.

2.2Kuantor Universal

a)     Setiap integer mempunyai factor priem.

b)    Untuk semua  x,

·        Jika x adalah suatu integer

·        Maka x mempunyai suatu factor prime.

c)     Untuksemua x,

·        ( Adalah_integer (x) – Punya_faktor_prime(x) )

Adalah_integer(x) adalah suatu predikat  yang menyajikan “ x adalah suatu integer”, dan Mempunyai Faktor prime(x) adalah suatu predikat yang menyajikan “ x mempunyai

contohdaripernyataan di atas , yaitu :
Semua orang adalahmaklukhidup.
Painoadalahmanusia.
JadiPainoadalahmakhlukhidup.

menjadi :
Untuk semua x, (Adalah_orang(x) ®Adalah_makhluk_hidup(x))

“Untuk semua” disebut dengan kuantor universal, dan ditulis dengan symbol ". Pernyataandiatasmenjadi :

"x (Adalah_integer(x) ®Mempunyai_Faktor_prime(x))

2.3Kuantor Eksistensial

·        Ada bilangan prima yang bernilaigenap.

·        P(x) = bilangan prima

·        G(x) = bernilaigenap

Bentuklogikapredikatnya

( ∃x ) ( P(x) ∧ G (x) )

Dibaca: ada x, yang x adalahbilangan prima

dan x bernilaigenap.

2.4Kuantor Universal dan Eksistensial.

Sejauh ini kita telah dapat mengekspresikan dalam pernyataan khusus logika seperti :
A pembohong
A berkatabahwa B adalah ……

Tetapi kita tak dapat mengekspresikan ide yang lebih umum seperti argument logis yang terkenal :
Semua orang adalah makluk hidup
Paino adalah manusia
Jadi Paino adalah makhluk hidup

Jika kita menginginkan ekspresi ini dalam logika proposisional, maka akan diperoleh : ( ( P.Q ) Maka R )

     Terlihat bahwa jika pernyataan dalam bahasa Indonesia ( lihat argument diatas) diubah kepernyataan proposisional (lihat hasil yang didapat diatas) maka kita tidak dapat lagi menyatakan bahwa argument tersebut valid. Hal ini disebabkan karena kita tidak dapat masuk lebih dalam lagi pada pernyataan tersebut (sudah dalam bentuka tomika) untuk mengerjakannya dengan hanya mempunyai obyek dan konsep dari level-rendah.Dengan perkataan lain obyek dan konsepnya adalah dari level lebih rendah sehingga jika bicara untuk level yang lebih tinggi tidak dapat digunakan/tidak dapat bicara..

Diperlukan suatu cara/jalan untuk mengekspresikan“ Semua milik A adalah B” sehingga argument menjadi :

“Semua milik A adalah B”
atau “Semua milik A mempunyai property B”
atau “Semua obyek di dalam A mempunyai property B”
“ C adalah suatu A atau “C adalah di dalam himpunan A”
atau “ C adalahanggautadaripadahimpunan A”
Maka C adalah B atau “C mempunyai property B”

Referensi

1.1.  Anthony Ralston, Edwin D. Reilly, “Encyclopedia Of Computer Science”, 3th edition, IEEE Press, 1993.

1.2.   Arindama Singh, “Logic for Computer Science”, Prentice Hall of India Private Limited, 2004

1.3.   Edmund Burke,Eric Foxley, “Logic and Its Applications”, C.A.R Hoarse Series Editor,

1.4.    https://arkenu.wordpress.com/2012/05/11/logika-predikat/

1.5.  https://cewekkarir.wordpress.com/tag/logika-predikat/

1.6.  http://www.slideshare.net/yulindajustin/8-logika-predikat

1.7.  Prentice Hall, 1996Peter M.D.Gray,MA,D.Phil,MBCS, “Logic, Algebra and Databases”, Ellis Horwood Limited , 1984.

1.8.   Seymour Lipschutz Ph.D , “Discrete Mathematics”, Schoum’s Outline series, McGraw-Hill Book Company, 1976

1.9.  Thomas C.Bartee, “Dasar Komputer Digital”, Edisi keenam, terjemahan oleh The Houw Liong Ph.D, Penerbit Erlangga, jln Kramat IV. No.11, Jakarta, 10430.

1.10.        Zohar Manna, Richard Waldinger ; “The Logical Basis for Computer Program- ming”, Volume I, Deduction Reasoning; Addison-Wesley Publishing Company, 1985